カラビ-ヤウ空間のオイラー数が世代を決める

ウィッテンたちは、クォークの世代数が、カラビ-ヤウ空間の幾何学的性質で決まる、具体的には「オイラー数」と呼ばれる数が、世代を決めることを導いた。

オイラーは、「トポロジー」という数学の1分野の創始者である。コーヒーカップとドーナツは一見すると全く違う形だが、表面を連続的に変化させると、カップがドーナツになることがわかる。これをトポロジー的に同じという。球面はどう頑張っても、持ち手のない湯呑茶わんにしかならない。表面を連続的に変化させるとき、「穴をあける」という操作はできない。つまり、トポロジー的に見ればコーヒーカップとドーナツの表面は同じ種類だが、球面は別な種類である。
この球面とドーナツの表面の違いを、数字を用いてはっきり表すものがオイラー数である。球面のオイラー数は２，ドーナツの表面のオイラー数は０となる。

オイラー数の計算方法を説明する。球面やドーナツの表面は、三角形の組み合わせとして表すことができる。これを「三角形分割」と呼ぶ。
たとえば、４つの三角形で作った四面体を滑らかに丸めていけば、球面になる。これは、球面が４つの三角形に分割できるということである。オイラー数は、三角形分割された表面の「面」と「辺」と「頂点」の数から計算される。その公式は次のようになる。
（オイラー数）＝（面の数）－（辺の数）＋（頂点の数）
球面は４つの三角形に分割すると、面の数は４、辺の数は６、頂点の数は４なので、オイラー数は２となる。